第一周作业

本次作业题包括第一章习题1（1）、1（6）、2（3）、7（1）、13、14、15、22（1）。

习题1

1

（1）

$\begin{align}(A\cap B)\setminus(A\cap C)&=(A\cap B)\cap(A\cap C)^c\\&=(A\cap B)\cap(A^c\cup C^c)\\&=(A\cap B\cap A^c)\cup(A\cap B\cap C^c)\\&=\emptyset\cup(A\cap B\cap C^c)\\&=(A\cap B)\setminus C\end{align}$

（6）

$\begin{align}(A\setminus B)\cap(C\setminus D)&=(A\cap B^c)\cap(C\cap D^c)\\&=(A\cap C)\cap(B^c\cap D^c)\\&=(A\cap C)\cap(B\cup D)^c\\&=(A\cap C)\setminus(B\cup D)\end{align}$

2

（3）

$A=A\cap(A\cup B)=A\cap(E\cup F)=(A\cap E)\cup(A\cap F)=(A\cap E)\cup\emptyset=A\cap E$，这表明$A\subseteq E$，由$A$与$E$的对称性，$E\subseteq A$，于是$A=E$。同理$B=F$。

7

（1）

写出上下极限的表达式后用de Morgan律即可：$(\varliminf_{k\to\infty} A_k)^c=(\cup^{\infty}_{i=1}\cap^{\infty}_{j=i} A_j)^c=\cap^{\infty}_{i=1}\cup^{\infty}_{j=i} A_j^c=\varlimsup_{k\to\infty} A_k^c$。第二式同理或由上式得到：$(\varlimsup_{k\to\infty} A_k)^c=(\varlimsup_{k\to\infty} (A_k^c)^c)^c=((\varliminf_{k\to\infty} A_k^c)^c)^c=\varliminf_{k\to\infty} A_k^c$。

13

还是标准的方法证明相互包含。值得一提的是，大多数同学从$a,b\in\mathbb{R},a>b$到存在$c\in\mathbb{R}$使$a>c>b$的过程只是轻描淡写，其实有理数集在实数集中的稠密性可不是一件平凡的事情。当然，考虑到大多数同学并不知道实数的定义，这是情有可原的。

14

显然，$\emptyset\subset\varliminf_{k\to\infty}E(\vert f_n-f\vert>\epsilon)\subset\varlimsup_{k\to\infty}E(\vert f_n-f\vert>\epsilon)$。而若有$x\in \varlimsup_{k\to\infty}E(\vert f_n-f\vert>\epsilon)$，则${f_n(x)}$不收敛于$f(x)$，但题目条件给出${f_n(x)}$收敛于$f(x)$，这个矛盾表明$\varlimsup_{k\to\infty}E(\vert f_n-f\vert>\epsilon)=\emptyset$。由于上下极限均为空集，故极限存在且为空集。

这道题暴露了很多同学数学分析基础堪忧，条件完全容许$f$不是一致收敛的，但很多人竟然用到了一致收敛性，一些同学甚至错误地认为$f$是有界的。

15

（1）

显然$f(\cup^{\infty}_{k=1}A_k)=\cup^{\infty}_{k=1}f(A_k)$：

• 对所有$k\in\mathbb{Z}^+$，由$A_k\subseteq \cup^{\infty}_{k=1}A_k$知$f(A_k)\subseteq f(\cup^{\infty}_{k=1}A_k)$，故$\cup^{\infty}_{k=1}f(A_k)\subseteq f(\cup^{\infty}_{k=1}A_k)$
• 对任何$y\in f(\cup^{\infty}_{k=1}A_k)$，存在$x\in \cup^{\infty}_{k=1}A_k$使得$y=f(x)$，进而存在$j\in\mathbb{Z}^+$使得$x\in A_j$，从而$y\in f(A_j)\subseteq \cup^{\infty}_{k=1}f(A_k)$，这说明$f(\cup^{\infty}_{k=1}A_k)\subseteq \cup^{\infty}_{k=1}f(A_k)$

（2）

一般来说，只有$f(\cap^{\infty}_{k=1}A_k)\subset \cap^{\infty}_{k=1}f(A_k)$，比如说$\sin(\cap^{\infty}_{k=1}[2k\pi,(2k+2)\pi))=\sin(\emptyset)=\emptyset\neq [-1,1]=\cap^{\infty}_{k=1}\sin([2k\pi,(2k+2)\pi))$

这道题意外暴露了不少同学对集合的理解薄弱，如混淆$0$与$\{0\}$，区分不了属于和包含。

22

（1）

基本的想法就是找一个可列子集，然后通过移位为0和1腾出位置。具体构造可以有很多选择，以下是一种：

$f:\begin{align}(0,1)&\to[0,1]\\x&\mapsto\begin{cases}0 & x=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{n-2}& x=\frac{1}{n},n\in\{k\in\mathbb{Z}\vert k>2\} \\ x & x\in[0,1]\setminus\{\frac{1}{n}\vert n\in\mathbb{Z}^+\} \end{cases}\end{align}$