第十一周作业

本次作业题包括第四章习题4、21。

习题4

4

因对几乎处处$x\in E$成立$f(x)\leq h(x)$，而$h\in L(E)$，故$\int_E f^+(x)\mathrm{d}x\leq \int_E h^+(x)\mathrm{d}x<+\infty$。类似地，因对几乎处处$x\in E$成立$g(x)\leq f(x)$，而$g\in L(E)$，故$\int_E f^-(x)\mathrm{d}x\leq \int_E g^-(x)\mathrm{d}x<+\infty$。因此，$f\in L(E)$。

记住$\int_Ef(x)\mathrm{d}x<+\infty$不是可积的条件，$\int_E\vert f(x)\vert\mathrm{d}x<+\infty$才是。

21

$\begin{align}\sum^{N}_{k=1}m(E_k)&=\int_{[0,1]}\sum^{N}_{k=1}\chi_{E_k}(x)\mathrm{d}x\\&\geq \int_{[0,1]}q\mathrm{d}x\\&=q\end{align}$

故存在$k\in\{1,\dots,N\}$使得$m(E_k)\geq\frac{q}{N}$。

许多同学用了同一个纯粹把证明复杂化的无用构造，又是哪里抄来的劣质答案？