第十二周作业

本次作业题包括第四章习题5、7、13（2）、16。

习题4

5

记$g_k:\begin{align}[0,1]&\to\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}\\x&\mapsto x^kf(x)\end{align}$。注意到对任何$x\in [0,1]$成立$\vert g_k(x)\vert=\vert x^kf(x)\vert\leq \vert f(x)\vert$。

因$f\in L([0,1])$，从而$\int_{[0,1]}\vert g_k(x)\vert\mathrm{d}x\leq\int_{[0,1]}\vert f(x)\vert\mathrm{d}x<+\infty$，故$g_k\in L([0,1])$。

由勒贝格控制收敛定理，$\lim_{k\to\infty}\int_{[0,1]}g_k(x)\mathrm{d}x=\int_{[0,1]}\lim_{k\to\infty}g_k(x)\mathrm{d}x=\int_{[0,1)}0\mathrm{d}x+\int_{\{1\}}f(1)\mathrm{d}x=0$

不少人在应该打绝对值的地方没有打绝对值

7

由题目条件要求的积分的绝对连续性，存在$\delta>0$使对任何$E$的可测子集$E_0$使$m(E_0)\leq\delta$成立$\int_{E_0}\vert f(x)\vert\leq 1$。因$E$有界，存在$R>0$使$E\subseteq [-R,R]^n$，取$K=\lceil\frac{R}{\delta^{\frac{1}{n}}}\rceil$，令$E_{i_1,\dots,i_n}=(\prod^n_{k=1}[\frac{i_k-1}{K}R,\frac{i_k}{K}R])\cap E$，则$m(E_{i_1,\dots,i_n})\leq (\frac{R}{K})^n\leq\delta$。于是$\int_E\vert f(x)\vert\mathrm{d}x\leq\sum^K_{i_1,\dots,i_n=-K+1}\int_{E_{i_1,\dots,i_n}}\vert f(x)\vert\mathrm{d}x\leq (2K)^n<+\infty$，这说明$f\in L(E)$。

注意$f$可能无界

13

（2）

因$\{f_k\}$在$E$依测度收敛于$f$，由Riesz定理存在子列$\{f_{k_i}\}$在$E$几乎处处收敛于$f$，其中对几乎处处$x\in E$成立$\vert f_{k_i}\vert\leq F(x)$且$F\in L(E)$，所以由勒贝格控制收敛定理$f\in L(E)$。

反设$\{\int_E f_k(x)\mathrm{d}x\}$不收敛于$\int_E f(x)\mathrm{d}x$，则由上下极限定义存在子列$\{\int_E f_{k_i}(x)\mathrm{d}x\}$无界或收敛于$\int_E f(x)\mathrm{d}x$以外的数。因$\{f_{k_i}\}$在$E$依测度收敛于$f$，由Riesz定理存在子列$\{f_{k_{i_j}}\}$在$E$几乎处处收敛于$f$，所以由勒贝格控制收敛定理$\{\int_E f_{k_{i_j}}(x)\mathrm{d}x\}$收敛于$\int_E f(x)\mathrm{d}x$，矛盾。

一个子列收敛当然推不出整个序列收敛

16

因$f’(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$有限，由极限定义存在$\delta>0$使$\vert x\vert<\delta$时有$\vert\frac{f(x)}{x}-f’(0)\vert\leq 1$，从而$\vert\frac{f(x)}{x}\vert\leq \vert f’(0)\vert+1$。从而$\begin{align}\int_{\mathbb{R}}\vert\frac{f(x)}{x}\vert\mathrm{d}x&=\int_{(-\delta,\delta)}\vert\frac{f(x)}{x}\vert\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}\setminus (-\delta,\delta)}\vert\frac{f(x)}{x}\vert\mathrm{d}x\\&\leq 2\delta(\vert f’(0)\vert+1)+\frac{1}{\delta}\int_{\mathbb{R}}\vert f(x)\vert\mathrm{d}x\\&<+\infty\end{align}$。

$f$只要求在0处可导，在其它点都可能不可导，不能用中值定理，在0的邻域一般也没有连续性