第十三周作业

本次作业题包括第四章习题9、10、14、15、20。

习题4

9

（1）

设$G$为$[0,1]$测度为$1$的开子集，$f=\chi_G$，它当然有界可测。因开集$G$中任一点$x$都有邻域包含于$G$，而$f$在其上为常数，故$f$在$x$连续。这说明$f$在$[0,1]$的不连续点都包含于零测集$[0,1]\setminus E$，故$f$在$[0,1]$黎曼可积。

本题中函数的间断点集可能是不可数的，比如$G=(0,1)\setminus C$时

（2）

设$f=1-\chi_\mathbb{Q}$，它当然有界可测。因$f$在$[0,1]$处处不连续，不连续点集有正测度，故$f$在$[0,1]$不黎曼可积。

（3）

因$f$为$[0,1]$上有界可测函数，并且只在零测集$\{0\}$上间断，故$f$在$[0,1]$黎曼可积。

（4）

因$f$为$[0,1]$上有界可测函数，而开集$[0,1]\setminus C$中任一点$x$都有邻域包含于$[0,1]\setminus C$，而$f$在其上为连续的常数函数，故$f$在$x$连续。这说明$f$在$[0,1]$的不连续点都包含于零测集$C$，故$f$在$[0,1]$黎曼可积。

10

（1）

对任何$A>1$，成立$\vert\int^A_1\sin(x)\mathbb{d}x\vert=\vert\cos(1)-\cos(A)\vert\leq 2$，而$\frac{1}{x}$随$x$增加而单调趋于$0$，由Dirichlet判别法，广义积分$\int^{+\infty}_{1}\frac{\sin(x)}{x}\mathrm{d}x$收敛。同时因$\frac{\sin(\cdot)}{\cdot}$在$(0,1]$连续，而$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$，故$\frac{\sin(\cdot)}{\cdot}$在$(0,1]$有界，故$\int^{1}_{0}\frac{\sin(x)}{x}\mathrm{d}x$收敛。因此$\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin(x)}{x}\mathrm{d}x$收敛，同理$\int^{+\infty}_{0}\frac{\cos(x)}{x}\mathrm{d}x$收敛。

$\begin{align}\int^{+\infty}_{0}\vert\frac{\sin(x)}{x}\vert\mathrm{d}x&\geq\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin^2(x)}{x}\mathrm{d}x\\&\geq\int^{+\infty}_{1}\frac{1-\cos(2x)}{2x}\mathrm{d}x\\&=\limsup_{A\to +\infty}((R)\int^{A}_{1}\frac{1}{2x}\mathrm{d}x-(R)\int^{A}_{1}\frac{\cos(2x)}{2x}\mathrm{d}x)\\&=\lim_{A\to +\infty}(R)\int^{A}_{1}\frac{1}{2x}\mathrm{d}x-\lim_{A\to +\infty}(R)\int^{A}_{1}\frac{\cos(2x)}{2x}\mathrm{d}x\\&\geq +\infty\end{align}$

可见，$\frac{\sin(\cdot)}{\cdot}\notin L((0,+\infty))$。

部分同学记错Dirichlet判别法的条件

（2）

注意到上题中已经说明$\frac{\sin^2(\cdot)}{\cdot^2}$在$(0,1]$有界，有$\frac{\sin^2(\cdot)}{\cdot^2}\in L((0,1))$。又熟知$\int^{+\infty}_{0}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$收敛，于是：

$\begin{align}\int^{+\infty}_{0}\vert\frac{\sin^2(x)}{x^2}\vert\mathrm{d}x&=\int_{(0,1)}\frac{\sin^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x+\int_{[1,+\infty)}\frac{\sin^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x\\&\leq\int_{(0,1)}\frac{\sin^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x+\int_{[1,+\infty)}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x\\&<+\infty\end{align}$

可见，$\frac{\sin^2(\cdot)}{\cdot^2}\in L((0,+\infty))$。顺便知黎曼广义积分$\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x=\lim_{A\to +\infty}(R)\int^{A}_{0}\frac{\sin^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x=\lim_{A\to +\infty}\int_{[0,A]}\frac{\sin^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x=\int^{+\infty}_{0}\frac{\sin^2(x)}{x^2}\mathrm{d}x$收敛。

部分同学连幂函数广义积分收敛的条件都记错

14

（1）

注意到对任何$x\in [0,1], k\in\mathbb{Z}^+$，成立$\vert\frac{\ln(k+x)}{k}e^{-x}\cos(x)\vert\leq 1$，而$1\in L([0,1])$。由控制收敛定理，$\lim_{k\to\infty}\int^1_0 \frac{\ln(k+x)}{k}e^{-x}\cos(x)\mathrm{d}x=\int^1_0 \lim_{k\to\infty}\frac{\ln(k+x)}{k}e^{-x}\cos(x)\mathrm{d}x=\int^1_0 0\mathrm{d}x=0$。

（2）

注意到对任何$x\in [0,1], k\in\mathbb{Z}^+$，成立$\vert\frac{k\sqrt{x}}{1+k^2x^2}\sin^5(kx)\vert\leq\frac{k\sqrt{x}}{2kx}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，而$\frac{1}{\sqrt{\cdot}}\in L([0,1])$。由控制收敛定理，$\lim_{k\to\infty}\int^1_0 \frac{k\sqrt{x}}{1+k^2x^2}\sin^5(kx)\mathrm{d}x=\int^1_0 \lim_{k\to\infty}\frac{k\sqrt{x}}{1+k^2x^2}\sin^5(kx)\mathrm{d}x=\int^1_0 0\mathrm{d}x=0$。

通过这道题可以发现许多同学喜欢抄劣质答案，代入$x=\frac{1}{k}$就可看出被积函数显然不是一致有界的

15

由列维引理和$\sum^\infty_{k=1}a_k$的绝对收敛性，

$\begin{align} \int_{[0,1]}\frac{x^p}{1-x}\ln\frac{1}{x}\mathrm{d}x&=\int_{[0,1]}\sum^\infty_{k=1}x^{k-1}x^p\ln\frac{1}{x}\mathrm{d}x\\&=\int_{[0,1]}\sum^\infty_{k=1}x^{p+k-1}\ln\frac{1}{x}\mathrm{d}x\\&=\sum^\infty_{k=1}\int_{[0,1]}x^{p+k-1}\ln\frac{1}{x}\mathrm{d}x\\&=\sum^\infty_{k=1}(\frac{x^{p+k}}{p+k}\ln\frac{1}{x}\vert^1_0+\int_{[0,1]}\frac{x^{p+k-1}}{p+k}\mathrm{d}x)\\&=\sum^\infty_{k=1}(0+\frac{x^{p+k}}{(p+k)^2}\vert^1_0)\\&=\sum^\infty_{k=1}\frac{1}{(p+k)^2}\end{align}$

20

由列维引理和$\sum^\infty_{k=1}a_k$的绝对收敛性，

$\begin{align} \int_{[0,1]}\sum^\infty_{k=1}\frac{\vert a_k\vert}{\sqrt{\vert x-r_k\vert}}\mathrm{d}x&=\sum^\infty_{k=1}\int_{[0,1]}\frac{\vert a_k\vert}{\sqrt{\vert x-r_k\vert}}\mathrm{d}x\\&=\sum^\infty_{k=1}(\int_{[0,r_k)}\frac{\vert a_k\vert}{\sqrt{r_k-x}}\mathrm{d}x+\int_{(r_k,1]}\frac{\vert a_k\vert}{\sqrt{x-r_k}}\mathrm{d}x)\\&=\sum^\infty_{k=1}(2\sqrt{r_k}+2\sqrt{1-r_k})\vert a_k\vert\\&\leq 4\sum^\infty_{k=1}\vert a_k\vert\\&<+\infty\end{align}$

这说明$\sum^\infty_{k=1}\frac{\vert a_k\vert}{\sqrt{\vert \cdot-r_k\vert}}$在$[0,1]$几乎处处有限，即几乎处处绝对收敛从而几乎处处收敛。

注意开方不是凸函数