第十四周作业

本次作业题包括第四章习题36、39和一道补充题。

习题4

36

（1）

$\begin{align}\int_{[0,\frac{\pi}{2}]}f(x)\mathrm{d}x&=\int_{[0,\frac{\pi}{2}]\cap\mathbb{Q}}\sin(x)\mathrm{d}x+\int_{[0,\frac{\pi}{2}]\setminus\mathbb{Q}}\cos(x)\mathrm{d}x\\&=\int_{[0,\frac{\pi}{2}]}\cos(x)\mathrm{d}x\\&=(R)\int^{\frac{\pi}{2}}_0\cos(x)\mathrm{d}x\\&=\sin(x)\vert^{\frac{\pi}{2}}_0\\&=1\end{align}$

（2）

注意到$\cos$在$[0,\frac{\pi}{2}]$严格单调，$\arccos([0,1]\cap\mathbb{Q})$可数从而零测。

$\begin{align}\int_{[0,\frac{\pi}{2}]}f(x)\mathrm{d}x&=\int_{\arccos([0,1]\cap\mathbb{Q})}\sin(x)\mathrm{d}x+\int_{[0,\frac{\pi}{2}]\setminus\arccos([0,1]\cap\mathbb{Q})}\sin^2(x)\mathrm{d}x\\&=\int_{[0,\frac{\pi}{2}]}\sin^2(x)\mathrm{d}x\\&=(R)\int^{\frac{\pi}{2}}_0\sin^2(x)\mathrm{d}x\\&=\int^{\frac{\pi}{2}}_0\frac{1-\cos(2x)}{2}\mathrm{d}x\\&=(\frac{x}{2}-\frac{\sin(2x)}{4})\vert^{\frac{\pi}{2}}_0\\&=\frac{\pi}{4}\end{align}$

再一次强调存在到零测集的一一对应的集合不一定零测，例如存在康托集到整个实数集的一一对应但前者零测而后者不是

39

$\begin{align}\int^1_0\int^1_0 f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y&=\sum^\infty_{n=1}\int^{2^{-n+1}}_{2^{-n}}\int^1_0 f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\&=\sum^\infty_{n=1}\int^{2^{-n+1}}_{2^{-n}}(\int^{2^{-n+1}}_{2^{-n}}2^{2n}\mathrm{d}x-\int^{2^{-n}}_{2^{-n-1}}2^{2n+1}\mathrm{d}x)\mathrm{d}y\\&=\sum^\infty_{n=1}\int^{2^{-n+1}}_{2^{-n}}(2^{-n}2^{2n}-2^{-n-1}2^{2n+1})\mathrm{d}y\\&=\sum^\infty_{n=1}\int^{2^{-n+1}}_{2^{-n}}0\mathrm{d}y\\&=0\end{align}$

$\begin{align}\int^1_0\int^1_0 f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x&=\sum^\infty_{n=1}\int^{2^{-n+1}}_{2^{-n}}\int^1_0 f(x,y)\mathrm{d}y\mathrm{d}x\\&=\int^{1}_{\frac{1}{2}}\int^{1}_{\frac{1}{2}}2^2\mathrm{d}y\mathrm{d}x+\sum^\infty_{n=2}\int^{2^{-n+1}}_{2^{-n}}(\int^{2^{-n+1}}_{2^{-n}}2^{2n}\mathrm{d}y-\int^{2^{-n+2}}_{2^{-n+1}}2^{2n-1}\mathrm{d}y)\mathrm{d}x\\&=1+\sum^\infty_{n=2}\int^{2^{-n+1}}_{2^{-n}}(2^{-n}2^{2n}-2^{-n+1}2^{2n-1})\mathrm{d}y\\&=1+\sum^\infty_{n=2}\int^{2^{-n+1}}_{2^{-n}}0\mathrm{d}y\\&=1\end{align}$

题目中$2^{2x}$和$-2^{2x+1}$分别被改为$2^{2n}$和$-2^{2n+1}$

补充题

因$f$在$E$非负可测，由Tonelli定理得

$\begin{align}\int_E\frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}\mathrm{d}m&=\int_{(0,+\infty)}\int_{(0,+\infty)}\frac{1}{(1+y)(1+x^2y)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\&\stackrel{u=x\sqrt{y}}{=}\int_{(0,+\infty)}\int_{(0,+\infty)}\frac{1}{(1+y)\sqrt{y}(1+u^2)}\mathrm{d}u\mathrm{d}y\\&=\int_{(0,+\infty)}\frac{1}{(1+y)\sqrt{y}}\frac{\pi}{2}\mathrm{d}y\\&\stackrel{y=v^2}{=}\int_{(0,+\infty)}\frac{1}{v(1+v^2)}\frac{\pi}{2}2v\mathrm{d}v\\&=\frac{\pi^2}{2}\end{align}$