第十六周作业

本次作业题包括第五章习题5、15、16。

习题5

5

因$f,g\in BV([a,b])$，$f,g$在$[a,b]$有某界$M>0$。对任何$a=x_0<\dots<x_k=b$，

（1）

$\begin{align}\sum^k_{i=1}\vert (\alpha f(x_i)+\beta g(x_i))-(\alpha f(x_{i-1})+\beta g(x_{i-1}))\vert&=\sum^k_{i=1}\vert \alpha (f(x_i)-f(x_{i-1}))+\beta (g(x_i)-g(x_{i-1}))\vert\\&\leq \sum^k_{i=1}(\vert\alpha\vert\vert f(x_i)-f(x_{i-1})\vert+\vert\beta\vert\vert g(x_i)-g(x_{i-1})\vert )\\&=\vert\alpha\vert\sum^k_{i=1}\vert f(x_i)-f(x_{i-1})\vert+\vert\beta\vert\sum^k_{i=1}\vert g(x_i)-g(x_{i-1})\vert\\&\leq\vert\alpha\vert V^b_a f+\vert\beta\vert V^b_a g\end{align}$

可见，$\alpha f+\beta g\in BV([a,b])$。

（2）

$\begin{align}\sum^k_{i=1}\vert f(x_i)g(x_i)-f(x_{i-1})g(x_{i-1})\vert&=\sum^k_{i=1}\vert f(x_i)(g(x_i)-g(x_{i-1}))+g(x_{i-1})(f(x_i)-f(x_{i-1}))\vert\\&\leq \sum^k_{i=1}\vert f(x_i)\vert\vert g(x_i)-g(x_{i-1})\vert+\sum^k_{i=1}\vert g(x_{i-1})\vert\vert f(x_i)-f(x_{i-1})\vert\\&\leq M\sum^k_{i=1}\vert g(x_i)-g(x_{i-1})\vert+M\sum^k_{i=1}\vert f(x_i)-f(x_{i-1})\vert\\&\leq M V^b_a f+M V^b_a g\end{align}$

可见，$fg\in BV([a,b])$。

（3）

$\begin{align}\sum^k_{i=1}\vert \frac{1}{g(x_i)}-\frac{1}{g(x_{i-1})}\vert&=\sum^k_{i=1}\vert \frac{g(x_i)-g(x_{i-1})}{g(x_i)g(x_{i-1})}\vert\\&\leq \frac{1}{m^2}\sum^k_{i=1}\vert g(x_i)-g(x_{i-1})\vert\\&\leq \frac{1}{m^2}V^b_a g\end{align}$

可见$\frac{1}{g}\in BV([a,b])$，从而由上一小题知$\frac{f}{g}=f\frac{1}{g}\in BV([a,b])$。

不少同学都出现指标差一之类的错误

15

因$f’$有界变差从而有某界$M$，对任何$\epsilon>0$只要$a\leq x_1\leq y_1\leq\dots\leq x_k\leq y_k\leq b$使$\sum^k_{i=1}\vert y_i-x_i\vert<\frac{\epsilon}{M}$，就由拉格朗日中值定理（注意$f$在$[a,b]$连续在$(a,b)$可导）有$\sum^k_{i=1}\vert f(y_i)-f(x_i)\vert\leq\sum^k_{i=1}M\vert y_i-x_i\vert<\epsilon$，这说明$f$在$[a,b]$绝对连续，从而对$x\in (a,b)$成立牛顿-莱布尼茲公式$f(x)-f(a)=\int^x_a f’(t)\mathrm{d}t$。

因$f’\in BV([a,b])$，由Jordan分解知$f’$可写成两个单调函数之差，而单调函数在任一点存在左右极限，故$f’$也在任一点存在左右极限，即$f’$的间断点都是第一类间断点。因$f$在$x$可导由定义，$f’(x)=\lim_{y\to x^+}\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\lim_{y\to x^+}\frac{\int^y_x f’(t)\mathrm{d}t}{y-x}=\lim_{y\to x^+}f’(y)$（上面保证了右端存在），这说明$f’$在$x$右连续，同理$f’$在$x$左连续，这表明$f’$在$x$连续从而在$(a,b)$连续。

许多同学用牛顿-莱布尼茲公式而不验证绝对连续性，很多同学看不出$f’$连续的条件与$f$可导条件间的区别

16

对任何$a=x_0<\dots<x_k=b$和正整数$m$有$\sum^k_{i=1}\vert f_m(x_i)-f_m(x_{i-1})\vert\leq M$，因$\{f_m\}$在$[a,b]$逐点收敛于$f$，上式中令$m$趋于无穷即得$\sum^k_{i=1}\vert f(x_i)-f(x_{i-1})\vert\leq M$，最后由分割的任意性知$V^b_a f\leq M$，从而$f\in BV([a,b])$。

一些同学在不知道是否收敛的数列上误用极限而非上极限，个别同学误以为有一致收敛