第二周作业

本次作业题包括第一章习题19、23、25、36、37、39。

习题1

19

令$C=\{x\in\mathbb{R}\vert 存在y\in\mathbb{R}使得(x,y)\in E\}$，$D=\{y\in\mathbb{R}\vert 存在x\in\mathbb{R}使得(x,y)\in E\}$，由选择公理分别存在从$C$和$D$到$E$的单射，而$E$可数，故$C$和$D$也是至多可数的，于是可记$C\subseteq\{c_i\vert i\in\mathbb{Z}^+\}$, $D\subseteq\{d_i\vert i\in\mathbb{Z}^+\}$，而且$i\neq j$时$c_i\neq c_j,d_i\neq d_j$。定义$A=\{(c_i,d_j)\vert i,j\in\mathbb{Z}^+,i\leq j\}\cap E,B=\{(c_i,d_j)\vert i,j\in\mathbb{Z}^+,i>j\}\cap E$，则$E=A\cup B$。并且对任何平行于x轴的直线$L=\mathbb{R}\times\{y_0\}$，$L\cap A$是有限集（$y_0\notin D$时为它为空，$y_0=d_j$时它至多有$j$个元素），同理平行于y轴的直线只与$B$交于有限点。

23

（1）

记实数集中全体开区间组成的集合为$A$。

一方面，$f:\begin{align}\mathbb{R}&\to A\\x&\mapsto (x,x+1)\end{align}$为一个单射，故$\aleph=\overline{\overline{\mathbb{R}}}\leq \overline{\overline{A}}$。

另一方面，$f:\begin{align}A&\to\mathbb{R}^3\\X&\mapsto\begin{cases}(a,b,0) & X=(a,b),a,b\in\mathbb{R}\\ (a,0,1)& X=(a,+\infty),a\in\mathbb{R} \\ (0,b,2) & X=(-\infty,b),b\in\mathbb{R} \end{cases}\end{align}$为一个单射，故$\overline{\overline{A}}\leq\overline{\overline{\mathbb{R^3}}}=\aleph$。

所以，$\overline{\overline{A}}=\aleph$。

（2）

记$\mathbb{R}^3$中棱平行于坐标轴的长方体集合为$B$。

一方面，$f:\begin{align}\mathbb{R}&\to B\\x&\mapsto [x,x+1]\times [0,1]\times [0,1]\end{align}$为一个单射，故$\aleph=\overline{\overline{\mathbb{R}}}\leq \overline{\overline{B}}$。

另一方面，$f:\begin{align}B&\to\mathbb{R}^6\\ [a,b]\times [c,d]\times [e,f]&\mapsto (a,b,c,d,e,f)\end{align}$为一个单射，故$\overline{\overline{B}}\leq\overline{\overline{\mathbb{R^6}}}=\aleph$。

所以，$\overline{\overline{B}}=\aleph$。

不少同学忘记了长方体是有长宽高的，误以为一个顶点就能惟一确定它

25

设$A=\mathbb{Q}^\mathbb{N}$。

一方面，$f:\begin{align}\mathcal{P}(\mathbb{N})&\to A\\X&\mapsto (\chi_X(i))^{\infty}_{i=0}\end{align}$为一个单射，故$\aleph=\overline{\overline{\mathcal{P}(\mathbb{N})}}\leq \overline{\overline{A}}$。

另一方面，$f:\begin{align}A&\to\mathcal{P}(\mathbb{N}\times \mathbb{Q})\\(x_i)^{\infty}_{i=0}&\mapsto \{(i,x_i)\vert i\in\mathbb{N}\}\end{align}$为一个单射，故$\overline{\overline{A}}\leq\overline{\overline{\mathcal{P}(\mathbb{N}\times \mathbb{Q})}}=\aleph$。

所以，$\overline{\overline{A}}=\aleph$。

虽然不少同学给出了正确的基数，但甚少同学正确构造出两方面的单射

36

对于任何$x_0\in E$，有$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{x-x_0}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f’(x_0)\neq 0$，于是存在$\delta>0$使得对所有$x\in B(x_0,\delta)\setminus\{x_0\}$，有$\vert \frac{f(x)}{x-x_0}\vert\geq\vert f’(x_0)\vert -\vert\frac{f(x)}{x-x_0}-f’(x_0)\vert\geq\vert f’(x_0)\vert -\frac{1}{2}\vert f’(x_0)\vert>0$，从而$x\notin E$，$E\cap B(x_0,\delta)=\{x_0\}$，即$x_0$为$E$的孤立点。

部分同学误以为处处可微时导数连续

37

（1）

一方面，因为$E^{\circ}\subseteq E$为开集，故$E^{\circ}\subseteq \cup_{U\subseteq E 开}U$。

另一方面，对任何$x\in \cup_{U\subseteq E 开}U$，存在$U\subseteq E$开使得$x\in U$，从而存在$r>0$使得$x\in B(x,r)\subseteq U\subseteq E$，这说明$x\in E^{\circ}$。可见，$\cup_{U\subseteq E 开}U\subseteq E^{\circ}$。

结合两方面，$E^{\circ}=\cup_{U\subseteq E 开}U$。注意到对任何$U_0\subseteq E 开$均有$U_0\subseteq \cup_{U\subseteq E 开}U$，且$\cup_{U\subseteq E 开}U\subseteq E$为开集，故$\cup_{U\subseteq E 开}U$为包含于$E$的最大开集。

（2）

一方面，因为$\overline{E}\supseteq E$为闭集，故$\cap_{U\supseteq E 闭}U\subseteq\overline{E}$。

另一方面，对任何$U\supseteq E 闭$，有$E’\subseteq U’$，从而$\overline{E}=E\cup E’\subseteq U\cup U’=U$，所以$\overline{E}\subseteq\cap_{U\supseteq E 闭}U$。

结合两方面，$\overline{E}=\cap_{U\supseteq E 闭}U$。注意到对任何$U_0\supseteq E 闭$均有$U_0\supseteq \cap_{U\supseteq E 闭}U$，且$\cap_{U\supseteq E 闭}U\supseteq E$为闭集，故$\cap_{U\supseteq E 闭}U$为包含$E$的最小闭集。

相当多同学用了可数并（交）的记号，但包含E的闭集全体很可能是不可数的

题目要求证明最大（小）就应该直接证明包含，而不是尝试反证法，何况许多人没有正确写出反面（把最大偷换成了极大）

39

（1）

对于任何$x\in(\partial E)’$，对任何$r>0$，存在$y\in B(x,\frac{r}{2})\cap \partial E$，从而$B(y,\frac{r}{2})\cap E\neq\emptyset,B(y,\frac{r}{2})\cap E^c\neq\emptyset$，但$B(y,\frac{r}{2})\subseteq B(x,r)$，故$B(x,r)\cap E\neq\emptyset,B(x,r)\cap E^c\neq\emptyset$，即$x\in\partial E$。这说明$(\partial E)’\subseteq \partial E$，即$\partial E$为闭集。

发现有一批人居然在写出一个点集是闭集的定义后接着马上说它是开集，明显有人在企图抄答案，而且所抄的答案还并不高明

一些同学忽略了边界点可能是孤立点，个别同学误以为一个点集非开即闭

（3）

假设$E$为开集，则对所有$x\in E\cap\partial E$，由$x$在$E$中而$E$开知$x$为$E$的内点，即存在$t>0$使$B(x,t)\subseteq E$，从而$B(x,t)\cap E^c=\emptyset$，但由$x$为$E$的边界点知$B(x,t)\cap E^c\neq\emptyset$，这个矛盾说明$E\cap\partial E=\emptyset$，也即$\partial E\subseteq E^c$。

反之设$\partial E\subseteq E^c$，则对任何$x\in E$，由假设有$x\notin \partial E$，所以$x$为$E$的内点，这说明$E$为开集。

（2）

$\begin{align}E为闭集&\Leftrightarrow E^c为开集\\ &\Leftrightarrow \partial(E^c)\subseteq (E^c)^c\\ &\Leftrightarrow \partial(E)\subseteq E\end{align}$