第四周作业

本次作业题包括第一章习题44、45和第二章习题1、12。

习题1

44

因为$A,B$为闭集且$A\cap B=\emptyset$，由45题即得存在开集$G_1$、$G_2$使$A\subseteq G_1$，$B\subseteq G_2$，$G_1\cap G_2=\emptyset$。

许多同学错误地认为$d(A,B)>0$（一个反例为$A=\{(x,\frac{1}{x})\vert x\in(0,+\infty)\}$而$B=\{(x,-\frac{1}{x})\vert x\in(0,+\infty)\}$）

45

定义$f:\begin{align}\mathbb{R}^n&\to [0,1]\\x&\mapsto\frac{d(x,\overline{A})}{d(x,\overline{A})+d(x,\overline{B})}\end{align}$。注意到注意到$\overline{A},\overline{B}$为闭集，故对$x\in\mathbb{R}^n$有$d(x,\overline{A})=0\Leftrightarrow x\in \overline{A}$和$d(x,\overline{B})=0\Leftrightarrow x\in \overline{B}$，又已知$A\cap \overline{B}=\emptyset$，$B\cap \overline{A}=\emptyset$，故对所有$x\in\mathbb{R}^n$有$d(x,\overline{A})+d(x,\overline{B})>0$，可见$f$为连续函数。因此，令$G_1=\{x\in\mathbb{R}^n\vert f(x)<\frac{1}{2}\}$，$G_2=\{x\in\mathbb{R}^n\vert f(x)>\frac{1}{2}\}$，则$G_1$、$G_2$为开集，并且$A\subseteq G_1$，$B\subseteq G_2$，$G_1\cap G_2=\emptyset$。

仍然有一些同学错误地认为一个点集非开即闭（一个反例为$\{\frac{1}{n}\vert n\in\mathbb{Z}^+\}$）

习题2

1

对任何$n\in\mathbb{Z}^+$，因$m^\ast (E\cap [-n,n])\leq m^\ast (E)=0$，故对任何$1>\epsilon>0$，存在$\{(a^{(n)}_i,b^{(n)}_i)\in \mathcal{P}(\mathbb{R})\vert i\in\mathbb{Z}^+\}$使$E\cap [-n,n]\subseteq \cup_{i\in\mathbb{Z}^+}(a^{(n)}_i,b^{(n)}_i)$又$\sum_{i\in\mathbb{Z}^+}\vert b^{(n)}_i-a^{(n)}_i\vert < \frac{\epsilon}{2n+2}$，并且$(a^{(n)}_i,b^{(n)}_i)\cap [-n,n]\neq\emptyset$。

• 若$a^{(n)}_i\geq 0$，则令$J^{(n)}_i=((a^{(n)}_i)^2,(b^{(n)}_i)^2)$，有$\vert J^{(n)}_i\vert=\vert (b^{(n)}_i)^2-(a^{(n)}_i)^2\vert=\vert b^{(n)}_i+a^{(n)}_i\vert\vert b^{(n)}_i-a^{(n)}_i\vert\leq 2(n+1)\vert b^{(n)}_i-a^{(n)}_i\vert$；
• 若$b^{(n)}_i\leq 0$，则令$J^{(n)}_i=((b^{(n)}_i)^2,(a^{(n)}_i)^2)$，同样$\vert J^{(n)}_i\vert=\vert (a^{(n)}_i)^2-(b^{(n)}_i)^2\vert=\vert a^{(n)}_i+b^{(n)}_i\vert\vert a^{(n)}_i-b^{(n)}_i\vert\leq 2(n+1)\vert b^{(n)}_i-a^{(n)}_i\vert$；
• 若$a^{(n)}_i<0<b^{(n)}_i$，则令$J^{(n)}_i=(-\min\{-a^{(n)}_i,b^{(n)}_i\},\max\{-a^{(n)}_i,b^{(n)}_i\})$，有$\vert J^{(n)}_i\vert=\vert a^{(n)}_i\vert+\vert b^{(n)}_i\vert\leq 2\vert b^{(n)}_i-a^{(n)}_i\vert$

现在有$\{x^2\vert x\in E\cap [-n,n]\}\subseteq \cup_{i\in\mathbb{Z}^+}J^{(n)}_i$，并且$\sum_{i\in\mathbb{Z}^+}\vert J^{(n)}_i\vert \leq \sum_{i\in\mathbb{Z}^+}(2n+2)\vert b^{(n)}_i-a^{(n)}_i\vert < \epsilon$，这说明$m^\ast(\{x^2\vert x\in E\cap [-n,n]\})<\epsilon$，再由$\epsilon$的任意性，$m^\ast(\{x^2\vert x\in E\cap [-n,n]\})=0$。

最后由外测度的次可数可加性知$m^\ast(\{x^2\vert x\in E\})\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}^+}m^\ast(\{x^2\vert x\in E\cap [-n,n]\})=0$，即$m^\ast(\{x^2\vert x\in E\})=0$。

许多同学不能正确处理负的部分，个别同学误以为下确界能达到，还有人误认为零测集可数（一个反例为康托集）

12

对于任何$n\in\mathbb{Z}^+$，因$f$在有界闭区间$[-n,n]$上连续从而一致连续，对任何$\epsilon>0$存在$N\in\mathbb{Z}^+$使对所有$x,x’\in [-n,n]$使$\vert x-x’\vert <\frac{2}{N}$都成立$\vert f(x)-f(x’)\vert <\frac{\epsilon}{2n}$，于是对$i\in\{-nN,\dots,nN-1\}$令$I^{n,\epsilon}_i=[\frac{i}{N},\frac{i+1}{N}]$，$M^{n,\epsilon}_i=\max_{x\in I^{n,\epsilon}_i}f(x)$，$m^{n,\epsilon}_i=\min_{x\in I^{n,\epsilon}_i}f(x)$，则$\{(x,f(x))\vert x\in [-n,n]\}\subseteq \cup^{nN-1}_{i=-nN}I^{n,\epsilon}_i\times [m^{n,\epsilon}_i,M^{n,\epsilon}_i]$，从而$\begin{align}m^\ast(\{(x,f(x))\vert x\in [-n,n]\})&\leq\sum^{nN-1}_{i=-nN}m^\ast(I^{n,\epsilon}_i\times [m^{n,\epsilon}_i,M^{n,\epsilon}_i])\\&=\sum^{nN-1}_{i=-nN}\vert I^{n,\epsilon}_i\vert (M^{n,\epsilon}_i-m^{n,\epsilon}_i)\\&\leq\sum^{nN-1}_{i=-nN}\frac{1}{N}\frac{\epsilon}{2n}\\&=\epsilon\end{align}$。

由$\epsilon$的任意性知$m^\ast(\{(x,f(x))\vert x\in [-n,n]\})=0$。

最后由外测度的次可数可加性知$m^\ast(\{(x,f(x))\vert x\in \mathbb{R}\})\leq \sum_{n\in\mathbb{Z}^+}m^\ast(\{(x,f(x))\vert x\in [-n,n]\})=0$，即$m^\ast(\{(x,f(x))\vert x\in \mathbb{R}\})=0$。

个别同学仍然误以为实数轴上连续可导出整条实轴上一致连续（一个反例为平方函数），还有一些同学硬把一些明显不是覆盖的东西（如直径和有限的一组方体绝对覆盖不了直径无穷的连通点集）说成覆盖