第五周作业

本次作业题包括第二章习题6、9、11、16。

习题2

6

因$E_1$可测，故$m^\ast(E_1)=m^\ast(E_2)=m^\ast(E_2\cap E_1)+m^\ast(E_2\setminus E_1)=m^\ast(E_1)+m^\ast(E_2\setminus E_1)$。由于$m(E_1)<+\infty$（题目漏掉这条件，但不难看出没有这条件的话题目结论错误），得$m^\ast(E_2\setminus E_1)=0$，从而$E_2\setminus E_1$可测，所以$E_2=E_1\cup(E_2\setminus E_1)$也可测。

9

因$A$可测，故$m^\ast(B)=m^\ast(B\cap A)+m^\ast(B\setminus A)$和$m^\ast(A\cup B)=m^\ast((A\cup B)\cap A)+m^\ast((A\cup B)\setminus A)=m^\ast(A)+m^\ast(B\setminus A)$，两式相加得$m^\ast(A\cup B)+m^\ast(B\cap A)+m^\ast(B\setminus A)=m^\ast(A)+m^\ast(B\setminus A)+m^\ast(B)$。由于$m^\ast(B\setminus A) \leq m^\ast(B)<+\infty$，得$m^\ast(A\cup B)+m^\ast(B\cap A)=m^\ast(A)+m^\ast(B)$。

11

假设$m(A)+m(B)<+\infty$（题目漏掉这条件，但不难看出没有这条件的话题目结论错误）。由第9题结论知$m^\ast(A\cup B)+m^\ast(A\cap B)=m^\ast(A)+m^\ast(B)<+\infty$。因$A$、$B$可测从而$A\cup B$可测，故$m(A\cup B)+m^\ast(A\cap B)=m(A)+m(B)$，于是$m(A\cup B)=m(A)+m(B)$当且仅当$m^\ast(A\cap B)=0$。

16

因$d(A,B)>0$，令$T=\cup_{x\in A}B(x,\frac{d(A,B)}{3})$，则$T$为开集从而可测，并且$A\subseteq T$、$B\subseteq T^c$，于是$m^\ast(A\cup B)=m^\ast((A\cup B)\cap T)+m^\ast((A\cup B)\setminus T)=m^\ast(A)+m^\ast(B)$。