第六周作业
本次作业题包括第二章习题10、20、21、27和第三章习题4、5、9（1）。
习题2
10
若$E$可测，则对任何$\epsilon>0$存在开集$G\supseteq E$使$m(G \setminus E)<\frac{\epsilon}{2}$，又存在闭集$F\subseteq E$使$m(E \setminus F)<\frac{\epsilon}{2}$，从而$m(G\setminus F)\leq m(G\setminus E)+m(E\setminus F)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$，即（1）成立。
若（1）成立，则对任何$\epsilon>0$存在开集$G\supseteq E$和闭集$F\subseteq E$使$m(G\setminus F)<\epsilon$，取$G_1=G$、$G_2=F^c$，则两者均为开集，并且有$E\subseteq G_1$、$E^c\subseteq F^c=G_2$，又$m(G_1\cap G_2)=m(G\setminus F)<\epsilon$，即（2）成立。
若（2）成立，则对任何$\epsilon>0$存在开集$G_1$、$G_2$使$E\subseteq G_1$、$E^c\subseteq G_2$，又$m(G_1\cap G_2)<\epsilon$，于是$m^\ast(G_1\setminus E)\leq m^\ast(G_1\cap G_2)<\epsilon$，故$E$可测。
20
对任何开集$G\supseteq E$有$m^\ast(E)\leq m^\ast(G)$，故$m^\ast(E)\leq \inf\{m(G)\vert G\supseteq E \text{开}\}$。
对任何$\epsilon>0$存在开矩体列$\{I_i\}$使得$E\subseteq \cup^\infty_{i=1}I_i$且$\sum^\infty_{i=1}\vert I_i\vert \leq m^\ast(E)+\epsilon$，令$G=\cup^\infty_{i=1}I_i$则$G\supseteq E$为开集，$m(G)\leq\sum^\infty_{i=1}\vert I_i\vert\leq m^\ast(E)+\epsilon$，由$\epsilon$的任意性知$\inf\{m(G)\vert G\supseteq E \text{开}\}\leq m^\ast(E)$。
结合两方面知$m^\ast(E)= \inf\{m(G)\vert G\supseteq E \text{开}\}$。
注意本题中$E$可以是不可测的
21
由题目条件，对任何$\epsilon>0$存在闭集$F\subseteq E$使$m(F)>m^\ast(E)-\epsilon$，因$F$可测有$m^\ast(E)=m^\ast(E\cap F)+m^\ast(E\setminus F)=m^\ast(F)+m^\ast(E\setminus F)$，从而$m^\ast(E\setminus F)\leq m^\ast(E)-m(F)<\epsilon$，因此$E$可测。
27
（1）
令$I_0=\cap_{I\supseteq E\text{为闭矩体}} I$即可。
（2）
因$I_0$可测，$m^\ast(I\setminus E)=m^\ast((I\setminus E)\cap I_0)+m^\ast((I\setminus E)\setminus I_0)=m^\ast(I_0\setminus E)+m^\ast(I\setminus I_0)$，$m^\ast(I)=m^\ast(I\cap I_0)+m^\ast(I\setminus I_0)=m^\ast(I_0)+m^\ast(I\setminus I_0)$，故$\begin{align}m_\ast(E)&=\vert I_0\vert-m^\ast(I_0\setminus E)\\&=(m^\ast(I)-m^\ast(I\setminus I_0))-(m^\ast(I\setminus E)-m^\ast(I\setminus I_0))\\&=m^\ast(I)-m^\ast(I\setminus E)\\&=\vert I\vert-m^\ast(I\setminus E)\end{align}$。
（3）
若$E$可测，则$\vert I_0\vert=m^\ast(I_0)=m^\ast(I_0\cap E)+m^\ast(I_0\setminus E)=m^\ast(E)+m^\ast(I_0\setminus E)$，从而$m_\ast(E)=\vert I_0\vert-m^\ast(I_0\setminus E)=m^\ast(E)$。
反之，若$m_\ast(E)=m^\ast(E)$，则对任何$\epsilon>0$，存在开矩体列$\{I_i\}^\infty_{i=1}$使得$I_0\setminus E\subseteq \cup^\infty_{i=1}I_i$且$\sum^\infty_{i=1}\vert I_i\vert <m^\ast(I\setminus E)+\epsilon$，令$F=I_0\setminus (\cup^\infty_{i=1}I_i)$，则$F$闭且有$F\subseteq E$。
$\begin{align}m^\ast(E\setminus F)&=m^\ast(E)-m(F)\\&=\vert I_0\vert -m^\ast(I_0\setminus E)-m(F)\\&=m^\ast(I_0\setminus F)-m^\ast(I_0\setminus E)\\&\leq\sum^\infty_{i=1}\vert I_i\vert-m^\ast(I_0\setminus E)\\& < m^\ast(I_0\setminus E)+\epsilon-m^\ast(I_0\setminus E)\\&=\epsilon \end{align}$
，故$E$可测。
习题3
4
如果$f$可测，则对任何$a\in\mathbb{R}$，$E(f=a)=E(f\geq a)\cap E(f\leq a)$，由$f$可测知$E(f\geq a)$和$\cap E(f\leq a)$都可测，故$E(f=a)$也可测。
取$E$为$\mathbb{R}$中的一个不可测子集，$f:\begin{align}E&\to E\\x&\mapsto x\end{align}$，则对所有$a\in\mathbb{R}$，由$f$为单射知$E(f=a)$为空集或单点集从而可测，但$f$不可测。
若$f(E)$可数且对所有$a\in\mathbb{R}$有$E(f=a)$可测，则对所有$a\in\mathbb{R}$，因$f(E)\cap (a,+\infty)$至多可数，故$E(f>a)=\cup_{x\in f(E)\cap (a,+\infty)}E(f=x)$也可测，故$f$在$E$可测。
部分同学想把$f(E)$由小到大排成一列，但一般来说可能不存在这样的排法，比如$f(E)=\mathbb{Z}$时
5
设$E=\mathbb{R}$，则存在它的不可测子集$X$，取$f:\begin{align}\mathbb{R}&\to\mathbb{R}\\x&\mapsto\begin{cases}1 & x\in X\\ -1& x\notin X \end{cases}\end{align}$，则$\vert f\vert^2$为可测集$E$上的常数函数从而可测，但$E(f>0)=X$为不可测集从而$f$不可测。
许多同学没有要求$E$可测，但$E$不可测的话$\vert f\vert^2$也会在$E$不可测，从而构成不了反例
假设$E(f>0)$可测，则对所有$a>0$，$E(f>a)=E(f>0)\cap E(\vert f\vert^2>a^2)$，$E(f>-a)=E(f>0)\cup E(\vert f\vert^2<a^2)$。可见，对所有$a\in\mathbb{R}$，有$E(f>a)$可测，故$f$可测。
许多同学只证明所有$a>0$，$E(f>a)$和$E(f\geq -a)$可测，但对于正值和负值要证明同一个不等号才行
9
（1）
若$f$在$E$上可测，则对所有开集$G\subseteq\mathbb{R}$，存在至多可数个互不相交的开区间$\{(a_i,b_i)\}(-\infty\leq a_i\leq b_i\leq+\infty)$使$G=\cup^\infty_{i=1}(a_i,b_i)$，从而$E(f\in G)=\cup^\infty_{i=1}(E(f>a_i)\cap E(f<b_i))$，其中由$f$在$E$上可测知对所有$i\in\mathbb{Z}^+$有$E(f>a_i)$和$E(f<b_i)$都可测，所以$E(f\in G)$可测。
反之，若对所有开集$G\subseteq\mathbb{R}$，$E(f\in G)$可测，则对所有$a\in\mathbb{R}$，由$(a,\infty)$为开集知$E(f>a)=E(f\in(a,\infty))$可测，即$f$在$E$上可测。
个别同学似乎误认为$\mathbb{R}$中开集都是开区间，还有个别同学误认为$\mathbb{R}$中闭集可表示为可数个闭区间之并（反例有康托集）