第七周作业

本次作业题包括第三章习题3、7、8、30。

习题3

3

对所有$k\in\mathbb{Z}^+$，因$f_k$几乎处处连续，即存在$E_k\subseteq E$使$m(E_k)=0$且$f_k$在$E\setminus E_k$上连续从而可测，又$f_k$在零测集$E_k$上必然可测，所以$f_k$在$E=(E\setminus E_k)\cup E_k$可测。但$\{f_k\}$在$E$几乎处处收敛于$f$，故$f$在$E$可测。

说间断点一定要说是哪个函数的间断点

7

（1）

因$m(E(\vert f\vert=+\infty))=0$，$m(E)=m(E(\vert f\vert<+\infty))+m(E(\vert f\vert=+\infty))=m(E(\vert f\vert<+\infty))$，又因$\{E(\vert f\vert < k)\}^\infty_{k=1}$为渐张集列，故$+\infty>m(E)=m(\cup^\infty_{k=1}E(\vert f\vert < k))=\lim_{k\to\infty}m(E(\vert f\vert < k))$。于是对任何$\delta>0$存在$k\in\mathbb{Z}^+$使$m(E(\vert f\vert < k))>m(E)-\delta$，令$E_0=E(\vert f\vert < k)$，则$m(E\setminus E_0)<\delta$且对所有$x\in E_0$有$\vert f(x)\vert < k$。

再一次强调处处有限的函数可以不是有界的

（2）

令$E=(0,1)\subseteq\mathbb{R}$和$f:\begin{align}E&\to\mathbb{R}\\x&\mapsto\frac{1}{x}\end{align}$，则对任何$M>0$和$E_0\subseteq E$使对$x\in E_0$总有$\vert f(x)\vert < M$，则有$E_0\subseteq (\frac{1}{M},1)$，从而$m(E\setminus E_0)\geq m((0,\frac{1}{M}])>0$。这表明题述的$E$和$M$不一定存在。

8

对所有$k\in\mathbb{Z}^+$，令$f_k:\begin{align}& [a,b-\frac{1}{k}]\to\mathbb{R}\\x&\mapsto k(f(x+\frac{1}{k})-f(x))\end{align}$，利用$f$在$[a,b]$处处可微从而连续知$f$在$[a,b]$可测，再由Lebesgue测度的平移不变性和可测函数类对加法和数乘封闭，$f_k$在$[a,b-\frac{1}{k}]$可测。注意到$\{f_i\}^\infty_{i=k}$在$[a,b-\frac{1}{k}]$上处处收敛于$f’$，故$f’$在$[a,b-\frac{1}{k}]$上可测。因此$f’$在$\cup^\infty_{k=1}[a,b-\frac{1}{k}]=[a,b)$可测，但$\{b\}$为零测集，故$f$在$[a,b]$可测。

绝大多数同学都没有正确处理右端点（一些同学提到可微地延拓到$\mathbb{R}$，但既然说$f$在$b$可微，已经暗示了$f$在$[a,b]$外的一些点已经有定义，而$f$在$[a,b]$外甚至可以不连续，所以“可微地延拓”至少是不严格的，按这思路需要修改$[a,b]$外的值），另外要指出处处可微函数的导数可以是不连续的

30

对于任何$\delta>0$，因测度有限集$[a,b]$上一列处处有限的可测函数$\{f_k\}$几乎处处收敛于处处有限的可测函数$f$，由Egorov定理，存在$E\subseteq [a,b]$，使$mE<\delta$且$\{f_k\}$在$[a,b]\setminus E$一致收敛于$f$。于是存在$N\in\mathbb{N}$使$k>N$时对所有$x\in [a,b]\setminus E$成立$\vert f_k(x)-f(x)\vert<1$，从而$\vert f_{k}(x)\vert < \vert f(x)\vert+1< \vert f_{N+1}(x)\vert+2\leq M_{N+1}+2$。令$M=\max\{M_1,\dots,M_N,M_{N+1}+2\}$，则对所有$x\in [a,b]\setminus E$和$k\in\mathbb{Z}^+$，成立$\vert f(x)\vert\leq M$和$\vert f_k(x)\vert\leq M$。

再一次强调处处收敛可以不是一致收敛的